Multiscale phenomena in Continuum Mechanics: singular limits, off-equilibrium and transitions

I fenomeni multiscala sono onnipresenti in natura e il progetto si concentra su alcune loro applicazioni nella Meccanica dei Continui. Il paradigma attuale impone di trattare contemporaneamente scale diverse: il modello microscopico, dove si cerca di dare una descrizione dettagliata del fenomeno considerato, viene utilizzato sia come strumento per derivare in modo consistente, sotto il limite appropriato, modelli a grandezze diverse e come benchmark per testarne la validità e il limite di applicabilità. Allo stesso tempo, il modello macroscopico, che è relativamente più facile da analizzare e risolvere, viene applicato per prevedere i comportamenti emergenti e testato rispetto ai risultati sperimentali disponibili. Il presente progetto utilizza tali fenomeni multiscala nell'analisi di tre casi come modelli.

Il primo coinvolge l'equazione di Boltzmann (BE), che è la descrizione più accurata di cui ci occuperemo, e i modelli macroscopici che si possono derivare quando la fisica si verifica a diverse scale spaziali o temporali, ad es. quando il numero di Knudsen è piccolo. La derivazione rigorosa dalla equazione di Boltzmann  del limite di Navier-Stokes-Fourier (NSF) è stata una svolta negli ultimi due decenni; allo stesso tempo lo sforzo di andare oltre NSF ha portato alla Termodinamica Estesa, una teoria basata sull'espansione nei momenti della BE, troncata  in modo che l'approssimazione macroscopica soddisfi il principio di entropia. Considereremo anche la derivazione di modelli fuori equilibrio per semiconduttori, materiali ferromagnetici e intelligenti.

Il secondo considera i sistemi di reazione-diffusione ed i fenomeni multiscala che si verificano dopo la destabilizzazione di equilibri omogenei. In questo caso studieremo la formazione di strutture coerenti, la loro destabilizzazione secondaria e la successiva transizione a dinamiche oscillatorie complesse o addirittura caotiche. 

Affronteremo anche fenomeni lontani dall'equilibrio che portano alla formazione di strutture localizzate. Modelli biomatematici, mezzi porosi e modelli per il micromagnetismo saranno i principali campi della nostra analisi.

Il terzo caso considera le equazioni della fluidodinamica incomprimibile nel limite di viscosità zero.

In particolare, l'Unità di Catania studierà anche la Stabilità degli flussi laminari anche nell'approssimazione di Boussinesq. Lo scopo è studiare la stabilità delle soluzioni laminari  delle equazioni di Navier-Stokes, in approssimazione di Boussinesq, per flussi riscaldati dall'alto o dal basso (ovvero quando il flusso laminare ha un ruolo stabilizzante o destabilizzante), eventualmente in presenza di un campo magnetico. Questi modelli svolgono un ruolo importante in molte applicazioni astrofisiche e geologiche e anche biologiche. Intendiamo inoltre studiare la stabilità delle soluzioni secondarie e costruire il diagramma di biforcazione completo fino al passaggio a soluzioni caotiche. Le metodologie proposte sono l'analisi dell'instabilità spettrale per sistemi lineari, il secondo metodo di Lyapunov per la stabilità non lineare e l'analisi numerica della biforcazione.